CALCULER LA TENSION D'UNE CORDE : L'EQUATION DE TAYLOR

Une façon assez simple de mettre en oeuvre cette fameuse "équation de Brook Taylor" ( mathématicien et musicien anglais du xviième siècle) ;

- Mesurer une, ou mieux plusieurs cordes du diamètre considéré.
- Les peser, avec une balance la plus précise possible : plus on a de longueur de corde, et plus la pesée sera bonne, bien sûr.
- Déterminer sa MASSE PAR UNITE DE LONGUEUR (m) en divisant la valeur pesée en kilogrammes par la longueur en mètres.

L'équation s'énonce ainsi :
 

 Où :
f est la fréquence en Hertz de la note considérée,
k désigne l'harmonique recherchée (ici égal à 1),
L est la longueur de la corde,
F est la tension de cette corde, valeur que l'on recherche,
m est la masse par unité de longueur que nous venons de calculer.

 On élève tout au carré pour éliminer la racine, on fait quelques permutations pour réécrire l'équation sous une forme
 plus commode :
                              

Prenons un exemple : Soit une corde nylon tynex accordée en A4 (diapason) 440 Hertz , de 0,4m  (40cm) de longueur.
On prend une corde de 1mm de diamètre, qui mesure au départ 1,33m et pèse 1g, soit 0,001 Kg. (attention à ne pas s'emmêler avec les zéros !).
La masse par unité de longueur est donc : m =  0,001 / 1,33 = 0,00081 Kilo par mètre linéaire.

On peut maintenant remplacer les termes de notre équation par des valeurs numérales :

F = 0,00081 X 440 X440 X 4 X 0,4 X 0,4 = 100,36 N

N  pour "Newton" qui est l'est l'unité de mesure de  la tension. Pour obtenir cette valeur en Kg, il faut la diviser par le coefficient 9,81. Cela nous donne : F = 100,36 / 9,81 = 10,23Kg. (au bord de la mer...).

Si on met une corde de même longueur mais de 0,9mm de diamètre, on obtient une tension de 8,71Kg, ça  risque d'être un peu mou... Pour une corde de 1,25mm de diamètre, on obtiendrait en revanche 17,17Kg de tension, presque le double ! Rude pour les doigts et pour la table d'harmonie...

Une remarque : comme  la tension est donc notamment proportionnelle au carré de la longueur, on comprend pourquoi, surtout dans les aiguës, une différence d'un ou deux centimètres peut se révéler problématique :  des cordes qui cassent à répétition...et comme cette même tension est aussi proportionnelle au carré de la fréquence, la solution est, bien sûr, souvent, d'accorder un ton plus bas...

Ces explications doivent tout à mon maître ès sciences et ami Yann Baol Le Noalleg, poète, mathématicien, physicien et bretonnant distingué...

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