vendredi 19 avril 2013

CALCULER LA TENSION D'UNE CORDE : L'EQUATION DE TAYLOR


Une façon assez simple de mettre en oeuvre cette fameuse "équation de Brook Taylor" ( mathématicien et musicien anglais du xviième siècle) ;

- Mesurer une, ou mieux plusieurs cordes du diamètre considéré.
- Les peser, avec une balance la plus précise possible : plus on a de longueur de corde, et plus la pesée sera bonne, bien sûr.
- Déterminer sa MASSE PAR UNITE DE LONGUEUR (m) en divisant la valeur pesée en kilogrammes par la longueur en mètres.

L'équation s'énonce ainsi :
 
 Où :
f est la fréquence en Hertz de la note considérée,
k désigne l'harmonique recherchée (ici égal à 1),
L est la longueur de la corde,
F est la tension de cette corde, valeur que l'on recherche,
m est la masse par unité de longueur que nous venons de calculer.

 On élève tout au carré pour éliminer la racine, on fait quelques permutations pour réécrire l'équation sous une forme
 plus commode :
                              

Prenons un exemple : Soit une corde nylon tynex accordée en A4 (diapason) 440 Hertz , de 0,4m  (40cm) de longueur.
On prend une corde de 1mm de diamètre, qui mesure au départ 1,33m et pèse 1g, soit 0,001 Kg. (attention à ne pas s'emmêler avec les zéros !).
La masse par unité de longueur est donc : m =  0,001 / 1,33 = 0,00081 Kilo par mètre linéaire.

On peut maintenant remplacer les termes de notre équation par des valeurs numérales :

F = 0,00081 X 440 X440 X 4 X 0,4 X 0,4 = 100,36 N

N  pour "Newton" qui est l'est l'unité de mesure de  la tension. Pour obtenir cette valeur en Kg, il faut la diviser par le coefficient 9,81. Cela nous donne : F = 100,36 / 9,81 = 10,23Kg. (au bord de la mer...).

Si on met une corde de même longueur mais de 0,9mm de diamètre, on obtient une tension de 8,71Kg, ça  risque d'être un peu mou... Pour une corde de 1,25mm de diamètre, on obtiendrait en revanche 17,17Kg de tension, presque le double ! Rude pour les doigts et pour la table d'harmonie...

Une remarque : comme  la tension est donc notamment proportionnelle au carré de la longueur, on comprend pourquoi, surtout dans les aiguës, une différence d'un ou deux centimètres peut se révéler problématique :  des cordes qui cassent à répétition...et comme cette même tension est aussi proportionnelle au carré de la fréquence, la solution est, bien sûr, souvent, d'accorder un ton plus bas...

Ces explications doivent tout à mon maître ès sciences et ami Yann Baol Le Noalleg, poète, mathématicien, physicien et bretonnant distingué...

English version




4 commentaires:

  1. Merci pour cette article très clair.
    Pour la blague du niveau de la mer ... évidemment les tensions de cordes exprimées en Kilo qu'on soit à Saint Michel en Grèves ou à St Michel de Braspart ne changera pas, le 9.81 dans ce cas ne sert pas à exprimer une force gravitationnelle, c'est juste un facteur d'équivalence.
    Bref, ce n'était qu'un clin d'oeil :)
    Pour en revenir au fond de la problématique des tensions des calculs de cordes, généralement, on connaît la longueur, on connaît la fréquence recherchée, on est prêt à adapter la jauge de la corde, mais la vraie difficulté, c'est de connaître la tension de la corde qui sera raisonnable. Là, ça dépend des instruments, de leur structure, etc... Les indications de l'avant dernier paragraphe sont intéressantes en ce sens. Pour info, pour une guitare standard, ça oscille entre 7 et quinze kilos, un cistre / bouzouki entre 7 et 10 kg, une mandoline de type archtop, on a entre 8 et 11kg.
    Autre indication, quand on a le choix, préférer des tensions plus basses qui favoriseront les harmoniques !
    Merci encore.
    Christophe, www.labellenote.fr
    (PS je suis tombé sur votre excellent site via les liens du forum des tontons luthiers)

    RépondreSupprimer
  2. Bonjour Christophe,
    Je suis allé sur ton très beau site, et j'ai essayé de te répondre, mais impossible à cause des codes d'activation illisibles...
    8kg pour une guitare, mais pour une petite celtique 300 ou 400kg...le problème est aigu !
    Merci pour le lien pour "bigprint", génial et super bien fait.
    Je vais rajouter un épisode à ce post avec une approche un peu plus matheuse du sujet.
    A bientôt !
    Didier

    RépondreSupprimer
  3. Bonjour,
    Je repasse ici par hasard, et , oups, je vois que tu avais répondu.
    (sur mon site, je n'ai pas connaissance de pb avec les captcha ? peu importe : buxus arobas labellenote point fr)
    Pour les cordes, j'ai du mal m'exprimer, je parlais de tensions pour une seule corde, pour une mandoline, ça nous fait pas loin de 80kg cumulé.
    Je vois que tu as été conquis aussi par bigprint :), j'ai vu ton article.
    A bientôt,
    Christophe

    RépondreSupprimer
  4. Kiss me hard & fuck me harder! Hey, i am looking for an online sexual partner ;) Click on my boobs if you are interested (. )( .)

    RépondreSupprimer

Bonjour, pour vous aider à publier votre commentaire, voici la marche à suivre :
1) Écrivez votre texte dans le formulaire de saisie ci-dessus. Par prudence, s'il est un peu long, copiez-collez-le quelque part sur votre ordi.
2) Si vous avez un compte, vous pouvez vous identifier dans la liste déroulante.
Sinon, vous pouvez saisir votre nom ou pseudo par Nom/URL. ou poster en anonyme (merci de signer dans le message, c'est plus convivial).
3) Suivez les instructions pour pouvoir envoyer le commentaire (recopiez les mots proposés).
Vous pouvez, en cliquant sur le lien s'abonner par e-mail, être assuré d'être avisé en cas d'une réponse.
4) Cliquer sur Publier enfin !

PS : Contrairement à d'autres blogs, sur blogger on n'a pas les mails des commentateurs et je ne peux donc pas vous contacter. Vous pouvez par contre me joindre via le contact du blog. Merci et au plaisir de vous lire !